红黑树是二叉查找树中的一种,要学习红黑树,首先要先了解什么是二叉查找树,这里可以看我的另外一边文章 二叉排序(搜索)树

BST存在的问题:
依次插入如下五个节点:7,6,5,4,3。依照二叉查找树的特性,结果会变成一下的样子

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这样的形态虽然也符合二插查找树的特性,但是查找的性能大打折扣,几乎变成了线性。所以为了解决这一问题,红黑树就应运而生。

红黑树定义和性质

红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉查找树。它必须满足下面性质:

  • 性质1:每个节点要么是黑色,要么是红色。
  • 性质2:根节点是黑色。
  • 性质3:每个叶子节点(NIL)是黑色。
  • 性质4:每个红色结点的两个子结点一定都是黑色。
  • 性质5:任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点。

下图中这棵树,就是一颗典型的红黑树:

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虽然红黑树的规则限制有点多,但正是这些限制才保证了红黑树的自平衡,红黑树从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的两倍

红黑树插入和删除节点

党插入和删除节点时,红黑树的规则可能会被打破,这时候就需要做出一些调整,来继续维持我们的规则。

什么情况下会破坏红黑树的规则,什么情况下不会破坏规则呢?我们举两个简单的例子:

1.向原红黑树插入值为14的新节点:

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2.向原红黑树插入值为21的新节点:

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由于父节点22是红色节点,因此这种情况打破了红黑树的规则4(每个红色节点的两个子节点都是黑色),必须进行调整,使之重新符合红黑树的规则。

那么,我们需要做出怎样的调整,才能保证红黑树始终是一颗红黑树呢?

调整的方法有两种:

  • 变色
  • 旋转
    而旋转由分为:左旋转和右旋转

变色:

为了重新符合红黑树的规则,尝试把红色节点变为黑色,或者把黑色节点变为红色。

下图所表示的是红黑树的一部分,需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色,不符合规则4,所以把节点22从红色变成黑色:

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但这样并不算完,因为凭空多出的黑色节点打破了规则5,所以发生连锁反应,需要继续把节点25从黑色变成红色:

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此时仍然没有结束,因为节点25和节点27又形成了两个连续的红色节点,需要继续把节点27从红色变成黑色:

a8c4ce5620424588bdbee69f4bb3d527

左旋转:

逆时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的右孩子取代,而自己成为自己的左孩子。说起来很怪异,大家看下图:

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图中,身为右孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转:

顺时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的左孩子取代,而自己成为自己的右孩子。大家看下图:

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图中,身为左孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

有点复杂,红黑输的插入和删除包含很多种情况,每一种情况都有不同的处理方式,下面举个例子体会一下:

我们以刚才插入节点21的情况为例:

7a4055b4eaa14fd097ffa241abd86032

首先,我们需要做的是变色,把节点25及其下方的节点变色:

a0c2409f6c7d4c468a3d1c80c18ebe9b

此时节点17和节点25是连续的两个红色节点,那么把节点17变成黑色节点?恐怕不合适。这样一来不但打破了规则4,而且根据规则2(根节点是黑色),也不可能把节点13变成红色节点。

变色已无法解决问题,我们把节点13看做X,把节点17看做Y,像刚才的示意图那样进行左旋转:

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9f6949f1ca624323ad26bd474912571a

d7da48b838514b33bd8b44ab1b55c9e1

由于根节点必须是黑色节点,所以需要变色,变色结果如下:

d32de019907c4e9a9c2e3490d66677de

这样就结束了吗?并没有。因为其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4,其他路径的黑色节点个数是3,不符合规则5。

这时候我们需要把节点13看做X,节点8看做Y,像刚才的示意图那样进行右旋转:

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1fdcb0466c7a4ecc84b54cb701781243

b3fcbe987f214340b0b03d129b2a2059

最后根据规则来进行变色:

79bbe75c48da4a7492c21af0e18065a5

如此一来,我们的红黑树变得重新符合规则。这一个例子的调整过程比较复杂,经历了如下步骤:

变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色

总结

红黑树的应用很多,JDK的集合类TreeMap和TreeSet底层就是红黑树实现的,在Java8中,HashMap也用到了红黑树。

红黑树在最坏的情况下,基本的动态几何操作的时间均为O(lgn)。

转载于 漫画:什么是红黑树

Q.E.D.